PROPIEDADES DE LA ESPERANZA MATEMATICA, VARIANZA Y DESVIACION ESTANDAR

ESPERANZA MATEMATICA: (También llamada esperanza, valor esperado, media poblacional o media) de una variable aleatoria X, es el número que formaliza la idea de valor medio de un fenómeno aleatorio.

VARIANZA: Se define como la esperanza al cuadrado de la desviación de dicha variable respecto a su media.

DESVIACION ESTANDAR: Se define como la raíz cuadrada de la de la varianza de la variable.

PROPIEDADES DE LA ESPERANZA MATEMATICA, VARIANZA Y DESVIACION ESTANDAR.

ESPERANZA MATEMATICA E(X):

·         E(K)=K

·         E(K.X)=K.E(X)

·         E(X+Y)=E(X)+E(Y)

·         E(K+X)=K+E(X)

·         SI X y Y son independientes => E(X.Y)=E(X).(Y)

VARIANZA Y DESVIACION ESTANDAR (en ambas se cumple las mismas)

·         V(K)=0

·         V(K+X)=K² . V(X)

·         Si X y Y son independientes => V(X+Y)=V(X)+V(Y)

                                                   V(X-Y)=V(X)+V(Y)

·         V(K+X)=V(X)

EJEMPLOS:

1)      (X)MEDICAMENTOS VENCIDOS EN EL HOSPITAL II DE EL VIGIA ESTADO MERIDA MES DE SEPTIEMBRE 2014

X	0	1	2
P(X=x)	0.21	0.59	0.6

ESPERANZA MATEMATICA E(X):

E(X)= SUMATORIA X.P(X=x)

E(X)= (0x0,21)+(1x0.59)+(2x0.6)

E(x)= 0+0.59+1.2=1.79

E(X)=1.79 MEDICAMENTOS VENCIDOS²

VARIANZA(X)

V(X)= SUMATORIA [X-E(X)]² . P(X=x)

V(X)=((0-1.79)² (0.21))+ ((1-1.79)² (0.59))+ ((2-1.79)² (0.6))

V(X)= 0.6728+0.3682+0.0264

V(X)=1.0674 MEDICAMENTOS VENCIDOS²

DESVIACION ESTANDAR:

DE(X)=1.0331 MEDICAMENTOS VENCIDOS

2)      (Y) MEDICAMENTOS VENCIDOS EN EL HOSPITAL II DE EL VIGIA ESTADO MERIDA MES DE OCTUBRE DE 2014

Y	0	1	2
P(Y=y)	0.41	0.29	0.3

ESPERANZA MATEMATICA

E(Y)= (0x0.41)+ (1x0.29)+(2x0.3)

E(Y)= 0+ 0.29 +0.6= 0.89

E(Y)= 0.89 MEDICAMENTOS VENCIDOS²

VARIANZA:

V(Y)= ((0-0.89)² (0.41)) + ((1-0.89)² (0.29))+ ((2-0.89)² (0.3))

V(Y)= 0.3247+0.0035+0.3696

V(Y)= 0.6978 MEDICAMENTOS VENCIDOS²

DESVIACION ESTANDAR

DE(Y)=0.8353 MEDICAMENTOS VENCIDOS

APLICACIÓN DE LAS PROPIEDADES DE LA ESPERANZA MATEMATICA, VARIANZA Y DESVIACION ESTANDAR

PROPIEDADES DE LAESPERANZA MATEMATICA:

1)      LA ESPERANZA MATEMATICA DE UNA CONSTANTE ES IGUAL A ESA MISMA CONSTANTE:

E(K)= K

E(3)=3

2)      SABIENDO QUE K=CONSTANTE Y X= VARIABLE

E(K.X)=K. E(X)

E= 3. 1,79

E=5.37

3)      SI X y Y SON VALORES ALEATORIOS

E(X+Y)= E(X)+E(Y)

E(X+Y)=1.79+0.89

E(X+Y)=2.68

               PROPIEDADES DE VARIANZA Y DESVIACION ESTANDAR (para ambas se aplican las mismas)

1)      V(k)=0

V(2)=(2-2)² . 2

V(2)=0

2)      V(K.X)= K² . V(X)

2 . 0.6728 + 2 . 0.3682 + 2 .0.0264 = 2² . 1.0674

1.3456+0.7364+0.0528=4.2696

2.1348=4.2696

ASI SE DEMUESTRA QUE SI TODOS LOS DATOS SE MULTIPLICAN POR UNA CONSTANTE, LA VARIANZAQUEDA MULTIPLICADA POR EL CUADRADO DE LA CONSTANTE

3)      V(X+Y)= V(X)+V(Y)

V(X+Y)= 1.0674+0.6978